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et
1/8, sur une feuille non lignée ou quadrillée : pliage,
partage; la feuille constitue le tout1/2,
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1/8, sur une feuille quadrillée : pliage, partage; la
feuille constitue le tout1/2,
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sur une feuille quadrillée (ou non) : partage1/3,
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et
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sur une feuille quadrillée (ou non)1/3,
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sur une feuille quadrillée (ou non)La question des difficultés d'apprentissage en mathématiques d'un nombre important d'élèves et des mesures à mettre en place pour transformer cette situation, est un objet sensible dans tout système éducatif. Elle est aussi, depuis plusieurs décennies, au centre des préoccupations d'un grand nombre de chercheurs. Pour rendre compte de la complexité du traitement de cette question, nous avons choisi de répondre aux questions suivantes : Comment le traitement de cette question a-t-il évolué depuis les dernières décennies ? Quelles sont les théories et les recherches qui ont marqué cette évolution ? Comment l'enseignement des mathématiques en adaptation scolaire a-t-il évolué ou se positionne-t-il en regard de l'enseignement des mathématiques en classes régulières ? Quelles sont les avenues prometteuses d'enseignement aux élèves présentant des difficultés d'apprentissage en mathématiques ? Quelles sont les difficultés auxquelles sont confrontés les enseignants en adaptation scolaire ? Quelles sont les attentes et les pratiques en classes régulières et spéciales des futurs enseignants en adaptation scolaire ? Comment évoluent-elles au cours de leur formation ? Les réponses que nous proposons prennent appui sur des recherches réalisées en psychologie, en éducation et en didactique des mathématiques, et sur certaines des expériences que nous avons nous-mêmes effectuées.
The question of the learning difficulties many students have with mathematics and the measures needed to change this situation is a sensitive issue for the entire education system. For several decades, it has also been the main focus of many researchers. To raise awareness of the complexity of the treatment of this question, we chose to answer the following questions : How has the handling of this question evolved over recent decades ? What theories and research have stood out during this evolution ? How has teaching mathematics to students with special needs evolved or positioned itself in relation to teaching mathematics in regular classes ? What are some promising avenues for teaching students with learning difficulties in mathematics ? What difficulties are teachers confronted with in special education ? What are the expectations and practices in the regular and special classes of future special education teachers ? How will they evolve over the course of their training ? We support the answers we offer with research from the fields of psychology, education and the didactics of mathematics and on some experiments we carried out ourselves.
La cuestión de las dificultades de aprendizaje en matemáticas de una gran cantidad de alumnos y las medidas tomadas para transformar esta situación constituyen un aspecto sensible en todo sistema educativo. Dicha cuestión también constituye, desde hace varias décadas, el centro de las preocupaciones de un gran numero de investigadores. Con el fin de describir la complejidad del tratamiento de este problema, hemos decidido ofrecer una respuesta a las cuestiones siguientes : ¿Cómo ha evolucionado el tratamiento de esta cuestión durante los últimos decenios ? ¿Cuales han sido las teorías y las investigaciones que han dejado una huella en dicha evolución ? ¿Cómo ha evolucionado la enseñanza de las matemáticas en adaptación escolar y cómo se sitúa con respecto a la enseñanza de las matemáticas en las clases regulares ? ¿Cuales son las avenidas más prometedoras para enseñar a los alumnos que presentan dificultades de aprendizaje en matemáticas ? ¿Cuales son las dificultades que confrontan los maestros en adaptación especial ? ¿Cuales son las expectativas y las practicas en clases regulares y especiales de los futuros maestros en adaptación especial ? ¿Cómo se transforman durante la formación ? Las respuestas que proponemos se apoyan en las investigaciones que se han realizado en sicología, en educación y en didáctica de las matemáticas, así como en ciertas experiencias que nosotros mismas hemos efectuado.
Traiter de l'enseignement des mathématiques en adaptation scolaire n'est pas chose facile. Qui dit adaptation scolaire dit à la fois volonté d'adapter l'école aux besoins de clientèles particulières d'élèves et volonté d'adapter ces clientèles d'élèves aux exigences de l'école. Les documents ministériels, les programmes d'études, les projets éducatifs des écoles, les politiques relatives à l'embauche d'orthopédagogues et d'autres professionnels scolaires, les pratiques d'enseignement et d'apprentissage en vigueur dans les écoles, montrent diverses tentatives pour parvenir à cette adaptation duale. Dans ce texte, nous nous intéressons plus spécifiquement à l'enseignement des mathématiques auprès d'élèves présentant des difficultés d'apprentissage.
Les élèves présentant des difficultés d'apprentissage constituent l'effectif le plus important de la population en adaptation scolaire au Québec, depuis près de trois décennies (Matte (1984); Tardif et Presseau (2000). Les fluctuations de cet effectif au fil des ans ne sont pas fortuites. Elles dépendent, entre autres, des objectifs éducatifs mis de l'avant par le ministère de l'éducation et des sommes allouées aux institutions scolaires pour l'embauche de professionnels. L'augmentation de la population d'élèves présentant des difficultés d'apprentissage a ainsi été plus significative entre 1960 et 1980 qu'entre 1980 et aujourd'hui. Par ailleurs, depuis les dernières années, on assiste à une augmentation sensible de cet effectif dans le secteur de l'adaptation scolaire de l'enseignement secondaire. Ce phénomène n'est pas unique au Québec. Comme le montre Chevallard (1988), l'attribution d'échec scolaire par les responsables de l'éducation en France est également conjoncturelle. Ainsi, depuis les deux dernières décennies, la demande pour des citoyens qualifiés, aptes à occuper des postes dans divers secteurs industriels et technologiques, a fait en sorte que les préoccupations concernant l'échec scolaire (ou les difficultés d'apprentissage) se sont déplacées de l'enseignement élémentaire à l'enseignement secondaire.
Depuis plusieurs décennies, l'identification des difficultés d'apprentissage préoccupe nombre de chercheurs en éducation et en sciences cognitives. Et pour cause ! Comment expliquer que, dans des conditions scolaires équivalentes, certains élèves obtiennent des résultats académiques satisfaisants, tandis que d'autres ne parviennent pas à réaliser les apprentissages attendus? C'est pour répondre à cette question qu'on a cherché à caractériser le fonctionnement des élèves présentant des difficultés et construit des outils théoriques et méthodologiques permettant de poser un diagnostic et de suggérer diverses approches remédiatrices.
Déplorant la prolifération de termes suggérés par les chercheurs pour effectuer un diagnostic des difficultés d'apprentissage, Fry (1968) : voir Farhnam-Diggory (1979, p. 14), traduction libre) propose un système diagnostique, en ajoutant, non sans une certaine pointe d'ironie, ce qui suit :
« Le système qui suit donnera 1000 termes mais si ce n'est pas suffisant vous pouvez utiliser la dyslexie, l'aphasie, la neurophrénie, etc. ». Voici les termes proposés par Fry et la façon de les combiner pour identifier les difficultés d'apprentissage (C.N.S. Système Nerveux Central) : « Choisir un mot de la colonne 1, ajouter un mot dans la colonne 2 et un autre mot de la colonne 3. Si vous n'aimez pas le résultat, essayez à nouveau. La signification sera sensiblement la même. »
| Qualificatif | Aire d'implication | Problème |
|---|---|---|
| Minimal | Cerveau | Dysfonctionnement |
| Minimal | Cerveau | Dysfonctionnement |
| Modéré | Cérébral | Dommage |
| Mineur | Neurologique | Désordre |
| Chronique | Arithmétique | Désynchronisation |
| Diffus | C.N.S. | Handicap |
| Spécifique | Langage | Inhabilité |
| Primaire | Lecture | Retard |
| Désorganisé | Perception | Défaut |
| Organique | Impulsion | Pathologie |
| Confus | Conduite | Syndrome |
À la même époque, Cruickshank (1967) : voir Farhnam-Diggory (1979, p. 17, traduction libre) écrit :
« Si un enfant vit dans l'état du Michigan, les éducateurs le qualifient d'enfant qui présente une inhabilité perceptive. Si ce même enfant est un résidant de la Californie, son éducation peut être prise en charge s'il entre dans la catégorie d'enfant handicapé « éducationnellement ou neurologiquement ». En Pensylvanie, ce même enfant sera placé dans une classe pour enfants présentant des problèmes de langage. »
Peut-on affirmer que les propositions précédentes, qui semblent aujourd'hui étonnantes, ne trouvent pas d'équivalents dans les conceptions qui sous-tendent certaines des propositions actuelles ? Quelle que soit notre réponse à cette question, nous devons admettre que ces propositions montrent bien comment la question des difficultés d'apprentissage, que ces difficultés soient en français ou en mathématiques, est une question sensible dans tout système éducatif.
Voilà quelques questions qui animent notre travail.
Dans notre rétrospective des principales études sur le diagnostic et la rééducation des difficultés des élèves en mathématiques, nous distinguons les études réalisées avant et après 1980. Ce découpage relativement grossier nous apparaît correspondre à des transformations ou changements de paradigmes.
Les études antérieures à 1980 partageaient une motivation et une approche naturelles et non négligeables avec d'autres études en sciences appliquées : chercher à résoudre de réels problèmes dont souffraient des individus. Les résultats peu probants des interventions découlant de ces études et l'entrée, autour des années 80, d'approches pédagogiques inspirées par les théories en sciences cognitives, ont conduit les chercheurs à examiner les difficultés des élèves en relation avec les dispositifs d'enseignement, et à proposer des adaptations de ces dispositifs. Le passage à une vision plus « systémique » des difficultés d'apprentissage est aujourd'hui réalisé. La prise en compte des théories en didactique des mathématiques (Artigue (1990), (1994); Bergeron et Herscovics (1989); Brousseau (1998); Brun (1994); Centeno (1995); Chevallard (1991), (1996); Conne (1996); Mercier (1992), (1995); Perrin-Glorian (1993); Rouchier (1991); Vergnaud (1991), (1996)) a permis de mieux comprendre le fonctionnement du système didactique et de ses sous-systèmes, de mieux lier difficultés d'apprentissage et d'enseignement. Diverses ingénieries didactiques ont été construites pour l'enseignement régulier. À notre connaissance, aucune ingénierie pour l'enseignement en classes d'adaptation n'a été réalisée. Ce fait soulève des questions sur la spécificité de l'enseignement des mathématiques en adaptation scolaire, sur la singularité des rencontres élèves-enseignants-mathématiques dans les classes spéciales.
Les études sur les difficultés d'apprentissage sont relativement anciennes. Nous donnons un aperçu de quelques études déterminantes.
Les difficultés d'apprentissage des personnes ayant subi des traumatismes cérébraux (notamment, durant la seconde guerre mondiale) ont retenu l'attention de plusieurs chercheurs. Les descriptions des manifestations de ces difficultés ne sont pas sans évoquer certaines des descriptions que l'on rencontre encore aujourd'hui. Rappelons certaines des descriptions proposées par Strauss et Werner (1942) : voir Farhnam-Diggory (1979) :
Durant la même période, Luria (1966) : voir Farhnam-Diggory (1979, pp. 84-91) s'est aussi intéressé aux difficultés en arithmétique d'adultes ayant subi des dommages cérébraux. Ses travaux sont précurseurs des travaux prenant en compte le système de traitement de l'information. Les difficultés en arithmétique sont ainsi associées à des défaillances multiples :
Ces travaux montrent l'ancrage « médical » des études, ancrage bien compréhensible : population appréciable de blessés de guerre, foisonnement de recherches sur le fonctionnement cérébral. De tels travaux sont toujours réalisés. Nous pensons en particulier aux travaux réalisés par Pesenti, Deloche et Seron (Deloche et Seron (1987); Pesenti et Seron (2000)), travaux bien connus de plusieurs didacticiens. Ces travaux permettent de donner un sens aux erreurs des élèves. Plus encore, les défauts relevés sont toujours invoqués : défaut d'attention, hyperactivité, persévérance, défaut de planification. À cet effet, nous reproduisons la définition adoptée par le National Joint Committee for Learning Disabilities, en 1981 (voir Leong (1982, p. 5), traduction libre).
« Difficultés d'apprentissage est un terme générique qui réfère à un groupe hétérogène de désordres qui se manifestent par des difficultés visibles dans l'acquisition et l'utilisation de l'écoute, de la parole, de la lecture, de l'écriture, du raisonnement ou de difficultés en mathématiques. Ces désordres sont intrinsèques à un individu et présumés être dus à un dysfonctionnement du système nerveux. »
Leong ajoute aussi que « les habiletés d'apprentissage et leurs désordres impliquent des processus différents, quoique reliés (ex. : écouter et parler (représentation phonétique); lire et écrire (représentations phonologiques, syntaxiques, sémantiques abstraites)) ». Cette vision prend appui sur les travaux en intelligence artificielle, en sciences cognitives, en psycho-linguistique. Inspirées par ces travaux, les études réalisées par Ginsburg (1977, pp. 124-125); pp. 140-143, traduction libre) ont été maintes fois citées par les chercheurs et les didacticiens. Ginsburg a conduit plusieurs entrevues auprès d'élèves présentant des difficultés en mathématiques. Plusieurs de ses observations et de ses interprétations sont relativement similaires à celles proposées antérieurement par Luria. Il ne s'agit pourtant pas de populations comparables. Les conduites et les interprétations suivantes montrent bien cette parenté :
| a. Défaut de logique spatiale : | |
|---|---|
| 23 + 5 73 |
|
| 19 + 16 215 |
|
| b. Persévérance : | |
|---|---|
| 10 + 1 20 |
Cet élève persiste à utiliser le même procédé lorsqu'il lui est demandé d'utiliser une autre façon de faire le calcul, essayant de reproduire avec ses doigts le procédé utilisé par écrit. Mais Ginsburg observe que le mot « plus » utilisé dans la présentation de la consigne est déterminant. En effet, lorsqu'il demande à l'élève « Combien font 10 et 1? », l'élève répond rapidement 11. |
Farhnam-Diggory (1979, p. 95, traduction libre) conclut ainsi sur ces similitudes entre les résultats obtenus par Ginsburg et ceux obtenus par Luria : « quelques formes de difficultés en arithmétique ou en lecture peuvent avoir une cause cérébrale ».
Ces interprétations montrent surtout une orientation du regard sur l'élève, abstraction faite de la position de cet élève dans le système didactique.
Comme le souligne Farhnam-Diggory, les études en sciences cognitives et en intelligence artificielle ont toutefois permis de raffiner les études comportementales sur les difficultés d'apprentissage; on parle ainsi de difficultés d'accéder à la mémoire sémantique et de difficultés dans la coordination d'informations. Un élève peut ne pas pouvoir nommer un nombre, non pas parce qu'il ignore le nom de ce nombre, mais parce qu'il ne peut rappeler ce nom assez rapidement. Un élève peut ne pas pouvoir additionner facilement les nombres 7 et 5, en ayant recours à un procédé de comptage avant, parce qu'il ne peut coordonner en mémoire de travail le comptage des nombres qu'il rappelle.
Si dans les études antérieures sur les relations entre l'intelligence (Wechsler (1974); Terman et Merrill (1960)) et le rendement scolaire, les épreuves de mémoire dans les tests d'intelligence occupaient une place importante (empan mnémonique), les capacités de mémorisation n'étaient pas utilisées pour examiner les difficultés des élèves en arithmétique. L'apport des théories sur la mémoire est donc de permettre de mieux lier certaines difficultés au fonctionnement de la mémoire.
L'analyse de procédés (ou de tâches), en terme de coût mnémonique, n'est pas négligeable. Si cette analyse poursuit des objectifs didactiques (et non exclusivement psychologiques), comme c'est le cas dans un grand nombre de travaux actuels en didactique des mathématiques, elle peut être utile à tous, en particulier aux élèves faibles.
Nous ne saurions passer sous silence les applications réductionnistes de la théorie de Piaget dans l'enseignement, notamment dans l'enseignement aux élèves en difficulté. Dans les années 70, les épreuves piagétiennes ont fait partie de la valise diagnostique de l'orthopédagogue et été à l'origine d'un travail important en enseignement et en rééducation. À ce moment, nous pouvions dire, sans hésiter, qu'il existait bel et bien un travail spécialisé auprès d'élèves en difficulté.
Il faut enfin reconnaître les travaux en intelligence artificielle sur le diagnostic des « bugs » en arithmétique (Brown et Burton (1978)). Ces travaux se situent dans le prolongement de plusieurs études sur les erreurs de calcul. En 1926, Buswell et Johns (voir Faas (1980, p. 263, traduction libre)) établissent une liste de 24 erreurs sur la soustraction; nous en reproduisons quelques-unes :
« Erreurs sur les combinaisons. Ne prend pas en compte le fait d'avoir emprunté. Erreurs dues à la présence de 0 dans le premier terme. Inversion des termes de la soustraction. Néglige d'emprunter, donnant 0 pour réponse. Erreur de lecture. Omet une colonne. Utilise un procédé d'addition essai-erreur. »
Les travaux de Brown et Burton ont permis de modéliser les règles productrices de ces erreurs et de plusieurs autres. Par la suite, dans leurs études sur les erreurs des élèves en division, Conne et Brun (1991) ont construit une interprétation de ces erreurs, montrant l'utilité de la notion de schème pour « voir autrement » les erreurs, pour les voir comme des produits d'un élève qui a « bel et bien » appris.
Durant cette première période, la remédiation des difficultés procède souvent par un ré-enseignement des objets de savoir, utilisant alors des modèles ou des dispositifs matériels et partant du schéma d'enseignement-apprentissage suivant : travail sur des modèles ou des dispositifs matérialisés, travail sur des dispositifs figuratifs, travail sur des dispositifs symboliques ou canoniques. On peut mettre en évidence un découpage des objets se traduisant souvent par un apprentissage des gestes à faire. Un tel découpage et un tel enseignement des gestes peuvent toujours être observés, comme le montrent plusieurs études récentes (nous y reviendrons). On assiste aussi à la mise en place d'un curriculum découlant d'une interprétation des travaux de Piaget sur les structures logiques, sur le nombre, interprétation bien documentée et coïncidant avec la réforme des « math modernes ». Citons l'ouvrage de Jaulin-Mannoni (1965) sur « La rééducation du raisonnement mathématique », ouvrage qui a fait beaucoup de bruit. Jaulin-Mannoni propose diverses activités sur l'espace, le temps, le nombre, le symbolisme et la pensée mathématiques. Certaines de ces activités ont fait leur entrée dans les manuels scolaires pour les classes régulières. Dans l'introduction, on peut lire ce qui suit : « Le matériel concret n'est pas autre chose qu'un moyen de communication plus accessible à l'enfant que ne l'est la parole » (p. 15). Il s'agit d'une affirmation assez étonnante, que nous ne discuterons pas, mais qui supporte le recours souvent critiqué à des représentations composées de dessins d'objets et de signes opératoires.
Dans d'autres études, on suggère aussi un travail important sur le vocabulaire, prenant en compte le fait que plusieurs élèves qui présentent des difficultés ne savent interpréter et utiliser adéquatement le vocabulaire utilisé en mathématiques. Boehm (1970 : voir Faas (1980)) a ainsi proposé plus de 90 mots de ce vocabulaire. Bref, ce qui est fait est conséquent au diagnostic posé, et en accord avec les représentations de l'enseignement et de l'apprentissage. L'enseignement auprès d'élèves présentant des difficultés d'apprentissage repose souvent sur l'ingéniosité de l'enseignant. Cette ingéniosité peut être déployée d'autant plus aisément que les dispositifs d'enseignement sont peu élaborés, laissant à l'enseignant le choix de construire ses propres tâches et de les mener comme il l'entend.
Dans cette période, se développent divers outils conceptuels et méthodologiques visant à mieux comprendre les productions des élèves, à donner un sens à leurs productions : entrevue clinique, entrevue diagnostique, entrevue rééducative, analyse de protocoles. Plusieurs chercheurs canadiens, américains et européens, ont contribué à ce travail.
Au cours des vingt dernières années, le diagnostic des difficultés d'apprentissage en mathématiques a pratiquement cessé de reposer sur une batterie d'épreuves psychologiques, cognitives, pédagogiques et disciplinaires. Le peu d'intérêt didactique des résultats obtenus à la suite de l'administration de ces épreuves, la conviction partagée par plusieurs praticiens et chercheurs, à l'effet que les difficultés d'apprentissage ne sont pas une caractéristique immuable d'un individu (structurale), ont sans doute permis de transformer cette pratique. Parler de difficultés d'apprentissage sans parler de l'institution dans laquelle elles se révèlent, des critères et des caractéristiques du fonctionnement de cette institution, des enjeux pour les différents membres de cette institution, pose problème et limite l'action dans cette institution.
Les élèves dont le rendement scolaire est insuffisant, les élèves qui subissent des échecs scolaires, les élèves dits « faibles », vivent, certes, une situation différente de celles des autres élèves de leurs classes respectives. Cette situation se rencontre dans les classes spéciales, mais aussi dans les classes régulières. Les enseignants de ces classes doivent composer avec cette situation.
Dans un premier temps, nous examinons les études visant à mieux comprendre ce qui pourrait différencier les élèves qui présentent « des difficultés » en mathématiques, des autres élèves. Nous présentons, dans un second temps, certaines propositions didactiques visant à faciliter les apprentissages de ces élèves.
Depuis 1980, préoccupés par les difficultés des élèves en mathématiques, les chercheurs ont élaboré des outils conceptuels et méthodologiques pour identifier les connaissances et les représentations des élèves, dont les rapports aux objets du savoir enseigné sont jugés problématiques. Notre communauté de chercheurs québécois a grandement contribué à cette oeuvre. Plusieurs chercheurs québécois ont ainsi procédé à des analyses conceptuelles des savoirs enseignés et des problèmes que soulève leur construction; plusieurs ont aussi puisé, dans les tâches et les problèmes présentés en classes, des informations qui leur ont permis de mieux interpréter les réponses des élèves; plusieurs ont également proposé diverses manières de prendre appui sur les connaissances des élèves, pour les questionner, les confronter, les enrichir. Citons, entre autres, les études réalisées par De Blois (1996); numération de position), par Rosar, Van Nieuwenhoven et Jonnaert (2001); fractions), par Deneau, Thivierge-Ayotte et Schmidt (2001); égalités arithmétiques).
Nous ne saurions rendre compte, dans ce texte, de l'ensemble des recherches sur les difficultés des élèves en mathématiques, cet ensemble incluant les recherches citées précédemment. Nous avons choisi de restreindre notre champ d'investigation, en nous intéressant aux études portant sur la résolution de problèmes mathématiques.
Les élèves « en difficulté ou faibles » en résolution de problèmes mathématiques ont été scrutés par un nombre important de chercheurs. Et pour cause ! Résoudre des problème est entrer dans une pratique mathématique reconnue.
Il n'est pas sans intérêt de rappeler que, de tout temps, comme le souligne Brown (1986), les enseignants ont présenté à leurs élèves des problèmes à résoudre. Plus encore, comme le montre Sarrazy (1996), les enseignants ont toujours été invités à soumettre à leurs élèves des problèmes comportant des données manquantes, à demander à leurs élèves de rédiger des problèmes et de représenter les données des problèmes. Quelle est alors la signification de l'insistance actuelle sur l'activité de résolution de problèmes ?
L'originalité de l'orientation actuelle, déjà amorcée dans les années 80, réside, selon nous, dans une utilisation originale des problèmes dans l'enseignement. Les problèmes ne sont plus des exercices que les enseignants donnent à leurs élèves, selon une vision applicationniste des connaissances enseignées, mais des problèmes que les élèves doivent résoudre pour construire de nouvelles connaissances. Ce n'est pas ainsi par hasard que l'activité de résolution de problèmes a été associée à une vision constructiviste de l'apprentissage, dans une interprétation, par ailleurs souvent discutable, des travaux de Piaget (Brun (1994)). Dans les théories actuelles en didactique des mathématiques, les problèmes acquièrent la fonction de donner un sens aux savoirs mathématiques qui sont enseignés et appris. La résolution de problèmes est ainsi une « activité mathématique » ou « une interaction d'un sujet avec un milieu propice aux pratiques mathématiciennes » (Conne (1999, p. 35)), pratiques référées à celles de la société des mathématiciens (Rouchier (1991)).
Chez les chercheurs en didactique des mathématiques, l'intérêt pour la résolution de problèmes doit aussi être contextualisé par un rappel d'événements majeurs qui leur ont permis de se construire des « outils pour étudier les conduites des élèves » et pour « intervenir sur ces conduites ».
La conjonction des travaux de Polya (1965) sur l'activité engagée dans la résolution de problèmes de mathématiques, des travaux de Krutetskii (1976) sur les habiletés en mathématiques des élèves, des travaux sur la résolution de problèmes mathématiques et l'enseignement des mathématiques (Ginsburg (1977); Schoenfeld (1985), (1987)), des travaux en intelligence artificielle sur les différences entre les solutionneurs experts et novices (Hinsley, Hayes et Simon (1978); Mayer (1981), (1985); Newell et Simon (1972); Riley, Greeno et Heller (1983)), des travaux sur la représentation (Anderson (1976); Kintsch (1977); Rumelhart et Ortony (1977); Mounoud (1985); Vergnaud (1981), (1983)), sur les stratégies et les processus cognitifs et métacognitifs (Mayer (1981), (1985); Richard (1990); Vygotsky (1978); Wong (1992)), a ainsi ouvert un champ, « encore fort actif ou en plein débroussaillage », aux chercheurs en didactique des mathématiques préoccupés par les difficultés des élèves en résolution de problèmes.
Pour montrer comment les résultats de ces recherches orientent l'analyse des difficultés des élèves, nous reproduisons quelques énoncés de problèmes proposés et analysés par Julo (1995).
| Énoncés A : (Julo (1995, p. 154)) | |
|---|---|
1 |
Tom et Anne ont 9 noisettes à eux deux. Trois de ces noisettes appartiennent à Tom. Le reste appartient à Anne. Combien Anne a-t-elle de noisettes ? |
2 |
Tom et Anne ont 9 noisettes à eux deux. Tom a trois noisettes. Combien Anne a-t-elle de noisettes ? |
Julo mentionne que les difficultés observées chez les élèves dans la résolution du 2e problème proviennent de l'incompréhension du fait que les trois noisettes qui appartiennent à Tom font partie de la collection de 9 noisettes. Plusieurs élèves choisissent alors d'additionner 9 et 3.
| Énoncés B : (Julo (1995, p. 104)) | |
|---|---|
1 |
Une école de 75 élèves veut organiser une sortie. À ce moment de l'année, il y a dans la caisse de l'école 525 F. De plus, le conseil municipal donne 20 F par élève. Pour le transport, il faut 2 cars et le prix de location d'un car est de 965F. La visite du zoo coûte 50 F. Y a-t-il assez d'argent pour la sortie ? |
2 |
Une école de 75 élèves veut organiser une sortie. À ce moment de l'année, il y a dans la caisse de l'école 4 150 F. De plus, le conseil municipal donne 20 F par élève. Pour le transport, il faut 2 cars et le prix de location d'un car est de 965 F. La visite du zoo coûte 50 F. Y a-t-il assez d'argent pour la sortie? |
Julo souligne plusieurs difficultés que peuvent rencontrer les élèves dans la résolution de ces problèmes :
Dans cette étude, Julo (1995) montre également comment les élèves faibles sont sensibles aux indices ou aux consignes qui accompagnent la présentation des problèmes. Ce résultat rejoint ceux montrés dans plusieurs études, prenant en compte la notion de contrat didactique (Brousseau, 1998; Sensevy (1998)). Comment intervenir auprès de ces élèves ?
Plusieurs propositions didactiques émanent des travaux sur la résolution de problèmes mathématiques. Nous choisissons de présenter quelques propositions qui ont marqué la communauté des didacticiens et des chercheurs en didactique.
La connaissance des processus, stratégies et heuristiques en résolution de problèmes et des difficultés rencontrées par plusieurs élèves a conduit plusieurs chercheurs à proposer l'enseignement de ces processus, stratégies et heuristiques. Schoenfeld (1985), (1987) a réalisé plusieurs recherches sur l'enseignement des mathématiques privilégiant une approche qui met l'accent sur l'utilisation d'heuristiques en résolution de problèmes. Il formule ainsi son intention (1987, p. 18) :
« Mon intention était de poser la question des heuristiques de résolution de problèmes dans la perspective des études en sciences cognitive: Quel niveau de spécification doit-on atteindre pour décrire les stratégies de résolution de problèmes de manière à ce que les étudiants puissent les utiliser ».
Les résultats des expériences d'enseignement qu'il a réalisées sont probants. Les étudiants qui ont été entraînés à utiliser des heuristiques peuvent résoudre des problèmes similaires à ceux qu'ils ont résolus durant l'enseignement, mais aussi des problèmes qui ne sont pas similaires à ces derniers. Ces étudiants se montrent enfin capables de résoudre des problèmes complexes.
Les études réalisées par Schoenfeld concernaient des populations d'élèves ou d'étudiants ne présentant pas de difficultés graves d'apprentissage. Elles ont cependant inspiré nombre de chercheurs préoccupés par l'enseignement aux élèves présentant de telles difficultés. Des études similaires sur l'enseignement de stratégies cognitives et métacognitives sont toujours conduites. À titre d'exemple, les recherches conduites par Montague (Montague (1992), (1997); Montague et alii (2000)). Dans ces recherches, l'enseignement des stratégies est organisé en leçons et son effet sur les performances des élèves en résolution de problèmes est examiné. Dans le programme Solve it, les stratégies enseignées sont les suivantes (Montague (1992, p. 234), traduction libre) :
|
Lire (pour comprendre) Paraphraser (vos propres mots) Visualiser (un dessin, un diagramme) Envisager : Un plan pour résoudre le problème. Estimer : Prédire la réponse. Calculer : Faire l'arithmétique. Se dire : Vérifier les calculs. Se demander : Ai-je vérifié chaque étape ? Ai-je vérifié les calculs ? Ma réponse est-elle bonne ? Si non, revenir en arrière. Alors, demander de l'aide si j'en éprouve le besoin. |
Si on ne peut douter des effets de cet enseignement, il est difficile d'aller au-delà de cette réception, ne connaissant généralement que des tâches proposées et les performances des élèves à ces tâches. Enfin, le fait que de telles recherches se poursuivent, montre bien, il nous semble, la difficulté de penser des situations visant à engager les élèves dans une activité mathématique féconde.
Dans son ouvrage, Julo (1995) fait aussi état de modalités visant à prévenir la multiplication des dysfonctionnements. Nous les résumons :
Nombre de chercheurs en didactique des mathématiques se sont préoccupés du traitement de l'erreur dans l'enseignement. Avant d'examiner quelques expériences didactiques, il nous semble important de reproduire les remarques effectuées par Chevallard (1988, p. 75) à la suite d'une étude de la copie d'un élève de terminale, lors d'une interrogation écrite :
«L'erreur de l'élève n'est donc que l'effet et le symptôme, dont la répétition engendrera peut-être une situation d'attribution d'échec, d'un rapport au calcul algébrique - notre objet O - à très faible idonéité. On imagine que, pour supprimer des « étourderies » telle celle constatée plus haut, c'est un travail profond qui devrait être entamé; rien de moins que le remaniement du rapport de l'élève au calcul algébrique !»
Remanier le rapport des élèves à certains objets du savoir mathématique, en allant au-delà de la face publique de l'erreur, est donc un travail complexe. Reconstruire la biographie didactique d'un élève, comme l'ont bien montré Mercier (1992) et De Blois (1996), peut s'avérer fort précieux et déboucher sur des interventions efficaces. Intégrer un travail sur l'erreur aux dispositifs usuels d'enseignement peut aussi amener une transformation non négligeable des rapports publics et privés des élèves aux objets mathématiques. Dans son ouvrage, Sensevy (1998, pp. 101-108) parle ainsi de l'intérêt du travail sur l'erreur :
« L'intérêt du travail sur l'erreur pourrait donc en classe être double :
[...]
- favoriser une activité de type épistémologique, que fournirait le fait de travailler sur ses propres erreurs ou les erreurs des autres. Ce travail serait aussi une tâche d'apprentissage;
- mettre à mal l'allant-de-soi de l'épistémologie quotidienne, aussi bien affectifs (« je suis l'erreur que j'ai commise ») qu'épistémologiques (« le maître seul possède ontologiquement le pouvoir de repérer les erreurs »), ces allant-de-soi pouvant s'apprécier comme nouveaux avatars de la position d'attente.
Notre intention était de faire en sorte que l'élève construise un rapport à l'erreur désigné de manière déclarative aux élèves de la façon suivante :
Une erreur n'est pas une faute. Il n'y a pas à se sentir coupable de faire une erreur. On peut beaucoup apprendre de ses propres erreurs, ou des erreurs des autres. Il est important de savoir travailler sur ses (des) erreurs; il faut donc apprendre à le faire. Il est important de retenir certaines erreurs « types », qui vont servir de guide pour les futurs travaux. »
Dans le but de provoquer une rupture des habitudes des élèves dans le traitement de problèmes multiplicatifs, Sensevy invite les élèves à fabriquer des problèmes. Les élèves se pratiquent d'abord à reconnaître les différents cas de la typologie de problèmes définie par Vergnaud (1991). Divers énoncés de problèmes sur la soustraction leur sont soumis pour introduire cette typologie et les élèves doivent produire par la suite une fiche comportant 1 problème pour chacun des cas de la typologie, en inscrivant au verso de la fiche l'attribution de cas dans la typologie (correction). Chaque fiche est alors examinée par une dyade d'élèves. Si elle est jugée adéquate, elle est placée dans un fichier. Dans le cas contraire, la fiche est transformée, puis placée dans le fichier. En cas de désaccord persistant, l'enseignant intervient : « Le consensus sur la base duquel enseignant et élèves travaillaient était que tout au long du processus (fabrication-correction-vérification de la correction-choix de la fiche-discussion en cas de désaccord), l'enseignant devait intervenir le moins possible. » (Sensevy (1998, p. 118)). Le repérage de l'erreur tombe sous la responsabilité de l'élève, plutôt que sur celle de l'enseignant. Dans cette perspective, la régulation ne se faisait pas « par les résultats attendus, mais par l'erreur nécessairement détectée et traitée par les élèves » (Sensevy (1998, p. 118); voir aussi Amigues (1994, p. 97)).
Ce travail a contribué à mettre en place des rapports à des objets nouveaux, à créer les habitus d'une pratique nouvelle. C'est dans ce cadre, qu'a succédé par la suite (2e année du projet), le travail sur la production de problèmes de fractions. Les problèmes ainsi construits par les élèves devaient respecter certaines consignes ayant trait à la typologie (p. ex : état final, transformation, etc.) et amener les élèves à « produire du nouveau et à prendre conscience des insuffisances de leurs énoncés » (Sensevy (1998, p. 121)).
Sensevy montre l'intérêt de ce travail dans la transformation des habitudes des élèves, dans leur prise de conscience de leur responsabilité face à la production d'erreurs, dans leur prise de conscience de leurs possibilités d'apprentissage, et dans les apprentissages réalisés. Un travail similaire de rédaction de problèmes multiplicatifs a aussi été mené avec succès auprès d'élèves faibles de milieux favorisés et défavorisés par Lemoyne, Giroux et Biron (1990).
Les élèves en difficultés d'apprentissage, comme nous l'avons évoqué précédemment, et comme le montrent plusieurs études (Sensevy (1998); Perrin-Glorian (1993)), semblent souvent s'être installés dans une « position d'attente » qui « limite considérablement le désir, l'appétence » (Sensevy (1998, p. 61)). La rencontre avec l'ignorance qui devrait susciter le désir d'apprendre est souvent une rencontre ratée. De plus, même si on parvient à établir une biographie didactique (Mercier (1992)), même en comptant avec les mémoires didactiques (Brousseau et Centeno (1991)), même en recourant à des techniques variées visant à mieux documenter la mémoire personnelle de ces élèves (Coppé (1995)), il est difficile d'engager un dialogue didactique avec ces élèves. Encore plus que les autres, ces élèves ont un pouvoir certain sur l'avancée du temps didactique; ces élèves participent bel et bien à l'enseignement (Mercier (1998)). Nos expériences en classes d'adaptation nous montrent que les élèves disposent de nombreux moyens pour provoquer des pauses didactiques : passivité, nombreux appels à l'aide, travail effectué à la hâte, indiscipline, etc. Il importe de reconnaître les difficultés qu'éprouvent un grand nombre d'enseignants en adaptation scolaire. Nous ouvrons donc une fenêtre sur ces difficultés.
Un enseignement spécialisé se reconnaît d'abord par une extension du temps didactique. À cet égard, le travail réalisé par Favre (1993), (1997), sur l'enseignement en classes régulières et spéciales, est fort précieux pour montrer qu'il s'agit bel et bien de deux institutions différentes. Son travail sur l'enseignement de la multiplication montre aussi qu'il est possible d'agir dans et sur ces institutions. Mais avant d'explorer des façons d'agir, il est important de « parler un peu des enseignants en difficulté d'enseignement ».
Un enseignant est en difficulté d'enseignement lorsque les dispositifs qu'il croyait « pertinents » montrent leur inefficacité à produire des savoirs institutionnellement reconnus chez ses élèves. Conne et Favre (1999) ont bien montré cette difficulté.
Que faire alors ? Avant de présenter ce qui pourrait être fait, il nous semble important de prendre quelques instants pour montrer que certains refuges des enseignants sont tout à fait compréhensibles, et trop souvent amplifiés par des applications de recherches servant de phares idéologiques. Nous avons pu montrer comment les recherches sur la résolution de problèmes et sur les erreurs de calculs ont débouché sur des pratiques « spéciales ». Les règles productrices des erreurs de calcul ont été interprétées comme s'il s'agissait des règles des élèves, des connaissances lacunaires des élèves et non, comme des produits d'apprentissage dénotant d'authentiques efforts de construction de connaissances chez les élèves (Conne et Brun (1991)). Mais regardons de plus près les pratiques en enseignement spécialisé.
Si dans l'enseignement spécialisé, plusieurs enseignants prolongent les pré-requis ou effectuent un dressage des gestes (voir, entre autres, les études de Mercier sur les fractions (Mercier (1995)), rendant visibles tous les gestes producteurs des réponses attendues, il nous faut prendre acte de ce fait et avouer les difficultés d'enseignement. S'agit-il, comme aimeraient le croire les magiciens des théories d'apprentissage et d'enseignement, d'une application « behaviorale » ? Nous n'en sommes pas si sûres. À cet effet, nous aimerions rappeler une expérience « spécialisée » et récente auprès d'un élève de 6e année.
Le travail clinique réalisé
avec cet élève a été marqué par des actions souvent improvisées,
témoignant de nos difficultés d'enseignement. Cet élève, dont les
connaissances langagières et les performances en français étaient
nettement supérieures à celles de son groupe de référence, a montré, dès
notre première rencontre, un désinvestissement, voire une indifférence
marquée pour les mathématiques. Avouant produire des erreurs en
multiplication, nous lui proposons les calculs suivants :
239 x 452;
240 x 452;
2400 x 4520;
2390 x 452; nous lui demandons de faire le moins de calcul
possible, mais de s'assurer qu'il a bien obtenu les réponses justes.
Parfait, nous dit-il. Et il fait tous les calculs, commettant alors
plusieurs erreurs. Nous poursuivons en lui demandant de faire :
24000 x 40001; il applique, une fois de plus, l'algorithme
usuel, application erronée, compte tenu du nombre de rangées comportant
un alignement de
0
qu'il doit produire. Enfin, en désespoir de cause, nous lui demandons
s'il peut composer un énoncé de problème comportant les nombres des deux
premiers calculs et partir de la réponse obtenue à un des problèmes, pour
trouver la réponse à l'autre problème. Les problèmes rédigés sont d'une
pauvreté contextuelle désarmante, mais sensés et, oh ! Miracle !, il
trouve facilement comment transformer la réponse au premier problème pour
produire la réponse au second problème. Mais il avoue préférer faire les
calculs qu'on lui demande. À la fin de cette rencontre, il nous demande
de lui faire faire des problèmes à la seconde rencontre car, dit-il, il
doit passer une examen d'étape. Nous choisissons des problèmes voisins
de ceux rencontrés dans son manuel. Les performances de l'élève sont
très faibles; les erreurs commises sont voisines de celles décrites dans
les études. Voici quelques-uns des problèmes présentés à l'élève :
1/4
des élèves préfèrent le basketball;
3/10, le hockey;
16 %, le
baseball. Le reste des élèves préfèrent le patin. Quel pourcentage des
élèves préfèrent le patin ?5/6
de ses pièces sont des pièces de 25c. Le reste de ses pièces sont des
pièces de 1c. Combien de pièces de 1c Nicolas a-t-il ?